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大学の電気磁気学の基礎!ガウスの法則の積分系をわかりやすく

未分類
あさこ
あさこ

大学の授業が全くわかんない‥

コブサラダ
コブサラダ

今何やってるの?

あさこ
あさこ

ガウスの法則ってやつ。

コブサラダ
コブサラダ

確かに式をみても理解しづらいね。

大学でならう電気磁気学の序盤で習うガウスの法則ですが、いままでの物理と違って面を食らった人もけっこう多いと思います。

ということで今回はガウスの法則について解説していきます。

今回の対象は

・電気磁気学を学んでいる大学生全般

となります。

コブサラダ
コブサラダ

理解できてしまえばすごくシンプルだよ!

ガウスの法則とは?

ガウスの法則の定義は

電界内に一つの任意の閉曲面Sをとり、nをその面上の一点の外向き法線の方向を持つ単位長ベクトルとすると
$$∮_s E・ndS=\frac{1}{ε0} ∑_内Q$$
となる。
※参考文献  電気磁気学 電気学会 山田直平原著 桂井誠著 1950
というものです。
あさこ
あさこ

全くわかりません‥。

コブサラダ
コブサラダ

安心して!これだけで分かる人はいないから。

この式を理解するために公式を使った問題一つを解いていきます!
例題
正の点電荷Q[C]を持つ点電荷がある(半径はa)。
この電荷の中心からr[m]だけ離れた場所で点電荷によってできる電場Eの大きさを求めよ。
ただし真空の誘電率をε0とする。

この問題を解きながらガウスの法則について学んでいきましょう。

左辺について

$$∮_s E・ndS$$

まず左辺について解説していきます。

∮←この記号の意味は何?

この記号は面積分を意味しています

あさこ
あさこ

‥面積分ってなに?

コブサラダ
コブサラダ

面積分はね‥。

面積分とは細かいことを気にしないでいうと二重積分、つまり面積を求めるものと考えてもらえばいいでしょう。

$$∮_sdS$$

↑これで面積を表します。

左辺を求める

面積分の意味がわかったら左辺について式を変形していきましょう

ここでE・ndSについて考えましょう

E・ndSというのは要するに電場が球の表面に垂直であることを表しています。

少し見づらいですが例題の半径rの点での電場でしたので電荷の中心からr離れたところに垂直に電場が貫いているイメージを持ってもらえばいいでしょう。

ここで先ほどの式で

$$∮_sdS$$

が面積だといいました。

Qから発生した電場がつランク半径rの球の面積はみなさんご存知の通り4πr^2です。よって
$$∮_sdS=4πr^2$$
となりこれにEを入れると
$$∮_s E・ndS=4πr^2E$$
と表わせます。
これで左辺についてはクリアです!

右辺について

それでは次は右辺についてみてみましょう。

$$\frac{1}{ε0} ∑_内Q$$

この∑内Qは球のすべての電荷を表しています。

今回の問題ではあるのがただQの電荷を持つ球1つだけです。

そのため∑内Q=Qとなります。

(ちなみに球がQ1とQ2の2つになっていたら∑内Q=Q1+Q2です。)

よって右辺は

$$\frac{Q}{ε0}$$

となります

両辺をまとめる

先ほどもとめた左辺と右辺から式は

$$4πr^2E=\frac{Q}{ε0}$$

この式を変形するとEは

$$E=\frac{Q}{4πε0r^2}$$

となりこの問題の解答になります。

以上がガウスの法則の式の意味と問題の解き方になります。

補足:ガウスの法則からマクスウェルの方程式を出す。

コブサラダ
コブサラダ

実はさっきの式からマクスウェルの方程式を導出できるんだよ。

マクスウェルの方程式は電気磁気の最も重要な公式と言われています。

これが理解できてはじめて電気電子を学ぶスタートラインとも言えるでしょう。

今回もとめるのは

$$divD=ρ$$

という式です。

意味としては

「限りなく小さい体積の物体の電荷密度ρはそこから湧き出る電束密度に等しい」

というものです。

この式を導出するために必要な数学の知識がガウスの発散定理です!

ガウスの発散定理

$$∮_s A・ndS=∫_v divAdV$$

解説するとある面から垂直に飛び出すベクトルの量は

これを使って左辺を変化させると

$$∮_s E・ndS=∫_v divEdV$$

つまり式は

$$∫_v divEdV=\frac{1}{ε0} Q$$

となりますね。

ここで

$$∫_vdVというのは体積を表しています。ということで両辺を体積で割ってしまいましょう。

左辺は∫_vdVが消滅し

$$ divE$$

です。

そして右辺について考えます。

右辺の4季は

ここで右辺のQを体積で割ってしまいましょう。

すると全体の電荷から体積を割ることになり結果として1m^3あたりの電荷が出ることになります。

これが電荷密度といいρと表せます!

つまり右辺は

$$\frac{1}{ε0} ρ$$

となります。

よって式は

$$ divE=\frac{1}{ε0} ρ$$

です。

ここで両辺にε0をかけると

$$ ε0divE= ρ$$

$$ div(ε0E)= ρ$$

となりますね。

ここで電束密度DについてD=ε0Eの式が成り立ちます。よって

$$ div(ε0E)= ρ$$

となりこれで導出が完了します。

まとめ:ガウスの法則もまずは図から理解しよう!

あさこ
あさこ

一つ一つ理解していけばどうにかなりそう!

コブサラダ
コブサラダ

難しく見えるだけでやってみればしっかり理解できるよ!

ということで今回は電磁気の基本のガウスの法則について解説していきました。
電磁気は数式のせいでとっつきにくくおもわれます。
ただ式を理解するためにはまずは式がどのような意味を表しているのかを考えること
そして問題を解いて慣れていくこと
これができれば理解ができる科目です。
諦めずに普段から勉強を積み重ねて単位をとるために定着させていきましょう。
電磁気のおすすめ教材については以下の記事でも紹介しているのでご覧ください!!
ということで今回はここまで!ありがとうございました!

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